. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux integrales "léfinies. 15 Le cas où le foyer P se confond avec le foyer P, est. pour l'ensemble des problèmes que nous considérons ici, un cas singulier. Dans ce cas la dérivée , ne peut même pas at- teindre la valeur 0 à gauche de P; si la courbure de T croit de — co à -4- x, le foyer P aura donc atteint le point P avant que la courbure ait passé par la valeur 0, et restera confondu avec ce point pour toutes les valeurs positives de la courbure. Le cas où P coïncide avec le second foyer relati
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux integrales "léfinies. 15 Le cas où le foyer P se confond avec le foyer P, est. pour l'ensemble des problèmes que nous considérons ici, un cas singulier. Dans ce cas la dérivée , ne peut même pas at- teindre la valeur 0 à gauche de P; si la courbure de T croit de — co à -4- x, le foyer P aura donc atteint le point P avant que la courbure ait passé par la valeur 0, et restera confondu avec ce point pour toutes les valeurs positives de la courbure. Le cas où P coïncide avec le second foyer relatif au problème de minimum libre peut également être un cas singulier. Par ce qui précède, le problème isopérimétrique apparaît comme un cas limite de notre problème principal. En se reportant à l'expression (2), on voit pourquoi il doit en être ainsi. En effet, si dans cette expression on fait v = -f- co, on aura le problème isopérimétrique, car alors le terme vAv2 assure le minimum par rapport à toutes les courbes pour lesquelles Av ^ 0, et ce ne seront donc que les courbes pour lesquelles Av = 0 qui importent. 14. Nous allons maintenant nous débarrasser de l'hypothèse «7^0, en excluant toujours le cas où a = b = 0 et celui où c0 est extrémale à la fois pour u et pour v (cf. n° 4). Remarquons d'abord que les conclusions qui nous ont conduit à l'égalité (1) et à la con dition de Legendre subsistent encore dans le cas où a = 0. Ce n'est donc qu'aux questions concernant le foyer P que nous avons à attacher notre attention. Soit y = f/(x,ä,b,fi) l'extrémale de l'intégrale äu -4- bv qui passe par le point xt, yt et dont la tangente en ce point a /j pour coefficient angulaire, et posons (x, a. b, /j) = 1 G (x, y, //) dx. Avec ces notations l'équation (8) peut s'écrire (9) dJJb^l + I d-l = Q à Çb, fi) « dfi Soit, d'autre part, ß la valeur de l'expression \ dv ) au2 ou dv ôudv \ ou J dv2 l àv ) au point u0, vQ. En partant de l'hyp
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