. Bulletin de la Classe physico-math©â-matique de l'Acad©â-mie imp©â-riale des sciences de Saint-P©â-tersbourg. 435 Bulletin pliysieo - mathématique 430. lieu d'être exprimée par le produit N. 9 (X, p.), sera, en certains cas, égale à N. (X, p.), les deux fonctions <p et 41 différant entr'elles. De cette manière le rapport (X, y.) _ ep (X, y.) JV.+ (X,fJL) <Ji (X, fJLj des deux intégrales, au lieu de se réduire à Vunité, sera égal à une certaine fonction de X et ^. Pour se rendre compte de ce paradoxe apparent, il suffit d'observer que dans l'intégrale (2) relative a
. Bulletin de la Classe physico-math©â-matique de l'Acad©â-mie imp©â-riale des sciences de Saint-P©â-tersbourg. 435 Bulletin pliysieo - mathématique 430. lieu d'être exprimée par le produit N. 9 (X, p.), sera, en certains cas, égale à N. (X, p.), les deux fonctions <p et 41 différant entr'elles. De cette manière le rapport (X, y.) _ ep (X, y.) JV.+ (X,fJL) <Ji (X, fJLj des deux intégrales, au lieu de se réduire à Vunité, sera égal à une certaine fonction de X et ^. Pour se rendre compte de ce paradoxe apparent, il suffit d'observer que dans l'intégrale (2) relative aux coordonnées polaires, il entre des éléments qui ne se trouvent pas dans l'intégrale (1), à -d. dans celle qui se rapporte aux coordonnées rectangulaires. En effet, admettons que la ligne OA (Fig. 1) repré- sente la limite des valeurs de x, et soit par consé- quent infinie. La ligne AB étant supposée égale à OA, l'intégrale (1), eu égard à r la condition y devra être étendue à tous les élé- ments de la surface du triangle rectangle OAB. Après le changement des coordonnées rectangulaires en co- ordonnées polaires, il est visible que l'intégrale (2) se trouvera étendue à tous les éléments de la surface du secteur circulaire OCB, et contiendra de cette manière un surplus d'éléments, nommément ceux qui sont re- latifs au segment ACB; ainsi, l'élément en m, corre- spondant à l'abscisse Op et à l'ordonnée pm, ne se trouve pas parmi ceux de l'intégrale (1). Par consé- quent, pour rétablir l'égalité entre les deux integrales (1) et (2), il faudrait retrancher de la seconde la somme des éléments F(rcoscp, rsincp,X, ^rcZrdcp, étendue à tous les points du segment ACB. A la véri- té, cette somme peut quelquefois s'annuler, et, en tout cas, pour des valeurs infinies des intégrales (1) et (2), elle n'aura aucune influence
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