. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 23 Si la fonction monogène f{x) est uniforme autour d'un point a qu'elle admet'comme •point singulier essentiel isolé, la fonction prendra toute valeur finie donnée, exceptée peut-être une seule valeur, dans un voisinage arbitrairement restreint de ce point. Admettons un moment qu'il existe au moins deux valeurs finies que f(x) ne prenne pas pour \x — ;^r^, et supposons que 0 et 1 soient deux de ces valeurs, ce qui ne consti- tue pas une restriction essentielle. Posons alors x' = log U
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 23 Si la fonction monogène f{x) est uniforme autour d'un point a qu'elle admet'comme •point singulier essentiel isolé, la fonction prendra toute valeur finie donnée, exceptée peut-être une seule valeur, dans un voisinage arbitrairement restreint de ce point. Admettons un moment qu'il existe au moins deux valeurs finies que f(x) ne prenne pas pour \x — ;^r^, et supposons que 0 et 1 soient deux de ces valeurs, ce qui ne consti- tue pas une restriction essentielle. Posons alors x' = log U - a / ' de sorte que le domaine 0< |a: —a|<C»Q soit transformé en la moitié X' du plan des x' si- tuée-à droite de l'axe imaginaire. La fonction donnée f{x) se changera, par cette transfor- mation en une fonction de x', fix'), qui sera régulière et différente de 0 et de 1 dans le demi-plan X', et qui admettra la période 2^i, en sorte qu'il nous suffira de l'étudier par exemple dans la bande B comprise entre deux parallèles à l'axe imaginaire situées de part et d'autre de cet axe à la distance st. Soit C une valeur finie quelconque distincte des valeurs 0 et 1. D'après un théorème de Weierstrass, on pourra trouver une suite de points x^, x^, •••, x-^, • ••, tendant vers le point a et tels que \\mf{x^) = C. V = CD Désignons par x' celle des valeurs de l'expression log —^— dont la partie imaginaire, X^ Cl divisée par i,' est supérieure ix —st et inférieure ou égale à ^; les' points ayant respec- tivement pour affixes x^, x^, •••, xj, •? ? feront tous partie de la bande B et tendront vers oc lorsque v augmente indéfiniment. Marquons maintenant sur un feuillet déterminé de la surface Z le point P dont l'affixe est égal à C, et, d'autre part, les points ayant respectivement pour affixes les valeurs z^ = f{x;) = f{xj (v=l,2,). Puis, de P comme centre, traçons un cercle c laissant à l'extérieur les points
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