. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. 56 Hj. Tallqvist. Z-weite Abtheilung. Formeln für einige Randwerthaufgaben der Potentialtheorie. Aus der Theorie der Reihenentwiekelung naoh Kugelfunctionen. 45. Wegen des Folgenden mögen einige bekannte Formeln zusammengestellt werden, welche sich auf Reihenentwickelungen nach Kugelfunctionen beziehen. Die Entfernungen zweier Punkte A und B von einem dritten Punkte C seien r und l bezw. (Fig. 1), die gegenseitige Entfernung der Punkte Ä und B sei A, der Winkel zwischen r und / sei y- Als- dann hat man für die reciproke Entfernung zwischen A und
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. 56 Hj. Tallqvist. Z-weite Abtheilung. Formeln für einige Randwerthaufgaben der Potentialtheorie. Aus der Theorie der Reihenentwiekelung naoh Kugelfunctionen. 45. Wegen des Folgenden mögen einige bekannte Formeln zusammengestellt werden, welche sich auf Reihenentwickelungen nach Kugelfunctionen beziehen. Die Entfernungen zweier Punkte A und B von einem dritten Punkte C seien r und l bezw. (Fig. 1), die gegenseitige Entfernung der Punkte Ä und B sei A, der Winkel zwischen r und / sei y- Als- dann hat man für die reciproke Entfernung zwischen A und B. Fig. 1. (1) ^ i/i' — 2lr cos y + r' wenn coaY = x gesetzt wird, die bekannten Entwickelungen nach Kugelfunctionen (2) lli \/P-2lrx + r^ ^ \ + P,(a;)y + P.(a;)^ + - r" 1 falls l > r ist, und ^ = 1 i 1 + P, (ic) 7 n 1" \ r falls ? r entwickelt werden sollen. Ditferentiirt man die Reihe (2) in Bezug auf r, so ergiebt sich (4) Ix — r .n —1 l lJp.(«)+2Pax)j + ----+wp„(z)^i + ---- Multiplicirt man links in (2) im Zähler und Nenner mit P — 2lrx + r^ und addirt die entstandene Gleichung zu der mit 2 r multiplicirten Gleichung (4), so er- hält man T. Please note that these images are extracted from scanned page images that may have been digitally enhanced for readability - coloration and appearance of these illustrations may not perfectly resemble the original Suomen Tiedeseura. Helsingfors : [Suomen Tiedeseura]
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