. Abhandlungen der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 345 gke gh cl hlf g'änge von U; überschritten werden, wenn man diese Curve im Uhrzeiger- sinn durchwandert. Es wird manchmal nicht möglich sein dabei Ueberschneidungen zweier Verbindungslinien zu vermeiden, wenn man sie nicht mit einer kleinen Ausbiegung über einander wegführen will. Die so entstehende Figur soll, mit Benutzung eines Listing'schen Ausdrucks,^) das Diagramm des Weges Wq heissen, da es ähnlichen Zwecken dient wie Listing's Dia- gramm. (Wir bemerken dabei, dass die Betrachtungen die im Folgenden auf das Diagram
. Abhandlungen der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 345 gke gh cl hlf g'änge von U; überschritten werden, wenn man diese Curve im Uhrzeiger- sinn durchwandert. Es wird manchmal nicht möglich sein dabei Ueberschneidungen zweier Verbindungslinien zu vermeiden, wenn man sie nicht mit einer kleinen Ausbiegung über einander wegführen will. Die so entstehende Figur soll, mit Benutzung eines Listing'schen Ausdrucks,^) das Diagramm des Weges Wq heissen, da es ähnlichen Zwecken dient wie Listing's Dia- gramm. (Wir bemerken dabei, dass die Betrachtungen die im Folgenden auf das Diagramm gegründet werden, auch ohne Bezug auf ein räum- liches Bild sich durchführen Hessen.) Wenn z. B. 8 Curven U vorhanden sind, welche (wie im ersten Beispiel des § 10) die folgenden nicht-funda- mentalen Uebergänge in der beigesetzten Ordnung überschreiten, U, b V, U,, kbd üe V,- cd U; ü, ef Us so hat das Diagramm die in Fig. 9 gegebene Gestalt des Weges W,, kann nicht in getrennte Theile zerfallen. Zum Beweise bemerken wir zuerst, dass eine Curve U nicht nur funda- mentale Uebergänge passiren kann. Denn U ist eine geschlossene Curve, würde sie nur fundamentale Uebergänge passiren, so müsste sie jeden eine gerade Anzahl Male überschreiten (§ 2), während sie doch jeden von ihr über- schrittenen Uebergang nur einmal überquert. Für das Diagramm heisst dies: von jedem Punkte Pi geht minde- stens eine Verbindungslinie aus. Man kann aber auch weiter zeigen, dass zwischen irgend zwei Punkten P; und P^ Verbindung ist. Denn U; trifft mindestens einen nicht-fundamentalen Uebergang p; beginnt man Wo auf dem einen Ufer von p, bei der Curve U; und geht p entlang, so kommt man zu einer Curve Uf<. Wenn a nicht = k ist, so muss Das Diagramm. 1) Census räumlicher Coiuplexe. Abhandl d. math. Classe d. kg-l. Gresellschaft d. Wissensch. zu Göttingen. 10. Band. 18Ö1/62. Seite 115. Abh. d. IL Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XV. Bd. II. Abth. i6. Please note that these images are
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