. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Systèmes complets et invariants différentiels. 15 un des déterminants d'ordre q qui ne s'annulent pas identiquement dans tous les points de T, et admettons, en particulier, que D(<i" -x,,", ûi •••«,•) 4=0, x^...u-" désignant un point de ï'et a^.^ des constantes quelconques. On poiu'ra alors limiter, autour du point x^... x,^, une région .1 de la multiplicité T, telle que pour tout point F, (u:,... a;„), contenu dans cette région Les équations de la multiplicité Sp qui correspond à un quelconque de ces points, peuvent être m
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Systèmes complets et invariants différentiels. 15 un des déterminants d'ordre q qui ne s'annulent pas identiquement dans tous les points de T, et admettons, en particulier, que D(<i" -x,,", ûi •••«,•) 4=0, x^...u-" désignant un point de ï'et a^.^ des constantes quelconques. On poiu'ra alors limiter, autour du point x^... x,^, une région .1 de la multiplicité T, telle que pour tout point F, (u:,... a;„), contenu dans cette région Les équations de la multiplicité Sp qui correspond à un quelconque de ces points, peuvent être mises, d'après le n° 2, sous la forme (i8) x,j+i = fi(xi ? ? ? x„,xi' ? --x,,') (l = I ? ? ? ii-q). En égalant Xi ??? x,j' à des constantes convenables «^ ?.«.^, ces équations feront correspondre à tout point de la région A un point «,...0;^, x,j^,', contenu dans la multiplicité (19) Fi («,-•• «,;, x,j+i ? ? ? x„) = 0 ((• = I ...ij), intersection de T avec la multiplicité Xj = t;,. ..., x,^ — a,^. D'après la remarque faite à la tin du 11" 2 on voit alors que la multiplicité Sj. pourra être lepré- sentée aussi par les équations x,;+,- = /;• (xi---x„,«!?•? «,) (i- I • ? ? »—q), Xf- x„ étant regardées comme variables. Cela posé, considérons la multiplicité ï'i détinie par les équations (20) F((«i ??? (.»?, -a;,,, a, ••?«,,) f„ q(Xi -a;,,,«! ???et,,)) = 0 (i = i •?•/*)? Comme elle se compose de nuiltiplicités Sj. issues des divers points de (19), elle sera évidemment toute entière contenue dans T. D'autre part les multiplicités T et Ti se confondent dans la région A. Donc, puisqu'elles sont définies l'une et l'autre par des équations analytiques, elles doivent se confondre identique- ment, et les équations (20) représentent, par suite, aussi la multiplicité T. Les fonctions fi(„, a^...i(,,) étant des invariants, d'ajjrès le n" 2, nous pou- vons ainsi
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