. Bulletin de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. ( 10 ) tré que x et y étant des fonctions de t et de u, et faisant dx=^dt H- Srfw; dy=Tdt -^Udu, la valeur deffZdxdy, étendue à toutes les valeurs possibles de j:; et de y, était égale à y^Z(RUâST) dldu, également étendue à toutes les valeurs possibles de t et de u. Mais cet illustre géomètre n'a pas manqué de faire remarquer que cette égalité ne s'appliquait qu'aux valeurs absolues des intégrales. Et réel- lement, voici comment on peut se convaincre que le signe de la double intégrale j^Z(
. Bulletin de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. ( 10 ) tré que x et y étant des fonctions de t et de u, et faisant dx=^dt H- Srfw; dy=Tdt -^Udu, la valeur deffZdxdy, étendue à toutes les valeurs possibles de j:; et de y, était égale à y^Z(RUâST) dldu, également étendue à toutes les valeurs possibles de t et de u. Mais cet illustre géomètre n'a pas manqué de faire remarquer que cette égalité ne s'appliquait qu'aux valeurs absolues des intégrales. Et réel- lement, voici comment on peut se convaincre que le signe de la double intégrale j^Z(RUâST) dklu doit rester in- déterminé. Soient t' et t", u' et u" les valeurs extrêmes de t et de u. Si les équations x=F{t,ii); y = f{t, u) suffi- sent pour déterminer ces valeurs extrêmes, pourvu que l'on connaisse les valeurs extrêmes de a? et de y, elles ne suffisent pas pour décider du sens dans lequel il faut inté- grer, c'est-à -dire, par exemple, s'il faut intégrer de t'jus- qu'à t", ou de <" jusqu'à t'. Or, puisqu'on a i" t' f '^t. dt= â f a. dt, il est évident que les équations x--=F{t, u);y = f{l, u) ne suffisent pas pourdéterminer lesignedey^Z(RU-ST)d((fM, et qu'on doit poser JJZdxdij = d=jfyZ(RU âST) d<dw. M. Plana, faisant usage du théorème d'Euler, transforme la double intégrale en celte autre. I, -I a" = Please note that these images are extracted from scanned page images that may have been digitally enhanced for readability - coloration and appearance of these illustrations may not perfectly resemble the original Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles
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