. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. VI. Über die Darstellung der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale als eindeutige Funktionen der polymorphen Funktion z. 43. Zu den mehrdeutigen analytischen Funktionen, die durch Einführung der polymorphen Funktion z des Sieheltypus als Hilfsvariable uuiformisiert werden können, gehören in erster Linie die Gesamtheit der algebraischen Funktionen sowie gewisse Klassen Abelscher Integrale, wie im Folgenden gezeigt werden soll. Wenn irgendeine algebraische Gleichung P{x,y) = 0 gegeben ist, so kann man nach Ausführung einer geeigneten birati
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. VI. Über die Darstellung der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale als eindeutige Funktionen der polymorphen Funktion z. 43. Zu den mehrdeutigen analytischen Funktionen, die durch Einführung der polymorphen Funktion z des Sieheltypus als Hilfsvariable uuiformisiert werden können, gehören in erster Linie die Gesamtheit der algebraischen Funktionen sowie gewisse Klassen Abelscher Integrale, wie im Folgenden gezeigt werden soll. Wenn irgendeine algebraische Gleichung P{x,y) = 0 gegeben ist, so kann man nach Ausführung einer geeigneten birationalen Transformation er- reichen, dass die zugehörige, über die .'-Ebene ausgebreitete Riemannsche Fläche P den beiden folgenden Bedingungen genügt, nämlich erstens, dass sie eine gerade Anzahl Windungspunkte besitzt, und zweitens, dass diese Windungspunkte paarweise a,, ht von derselben Ordnung- n, sind und einem und demselben Blätterkomplex angehören. Man kann ja sogar, nach einem von Clebsch1) und Lüroth2) bewiesenen Satz, erreichen, dass alle Ordnungszahlen gleich zwei werden. Wir setzen ferner voraus, dass zwei verschiedene Windungspunkte stets über verschiedenen Punkten der ./-Ebene liegen, was man durch eine lineare Substitution der Form x' = x + Jcy, .'/' = ?/ erreichen kann, wo die Konstante Je nur der Bedingung unterworfen ist. dass sie gewisse Aus- nahmsweise vermeidet. Wir behaupten, dass unsere algebraische Funktion durch diejenige polymorphe Funktion des Sicheltypns uuiformisiert wird, die zu den Schnitten a, b{ mit den Indizes ,</, gehört. ') Clebsch. Zur Theorie der Rie manngehen Fläche i Mathematische Annalen, Bd. (i (1873), S. 216). ') Lüroth. Note über Verztceigungsschniüe und Querschnitte in einer Riemannschen Fläche (Mathematische Annalen, B. i (1871), S. 181). Tom. Please note that these images are extracted from scanned page images that may have been digitally enhanced for readability - coloration and appearance of these i
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