Memorie della Reale accademia delle scienze di Torino . idale. In questo campo consideriamo un tubo di flusso infinitamente sottile, ilquale parta da un elemento dS di S e termini su di un elemento dS diS. Questidue elementi superficiali dS e dS si dicono corrispondenti „. Se diciamo A il ten-sore del vettore in un punto dellelemento dS, ed A quello del vettore in un puntodi dS, e se, conformemente alla convenzione dei segni ora ricordata, li prendiamo comepositivi quando sono diretti verso la regione ove A è diverso da zero, i flussi attra-verso a dS ed a dS, presi nella direzione da d S vers
Memorie della Reale accademia delle scienze di Torino . idale. In questo campo consideriamo un tubo di flusso infinitamente sottile, ilquale parta da un elemento dS di S e termini su di un elemento dS diS. Questidue elementi superficiali dS e dS si dicono corrispondenti „. Se diciamo A il ten-sore del vettore in un punto dellelemento dS, ed A quello del vettore in un puntodi dS, e se, conformemente alla convenzione dei segni ora ricordata, li prendiamo comepositivi quando sono diretti verso la regione ove A è diverso da zero, i flussi attra-verso a dS ed a dS, presi nella direzione da d S verso dS sono rispettivamenteAdS e —AdS. Per la proprietà solenoidale, che si è supposto esistere lungo tuttoil tubo, questi due flussi sono uguali;.quindi si ha AdS =— AdS. Ora la propo-sizione precedente, applicata ad A e ad A, dà dunque A = 4 ir a ed A = 4 ti a ;adS= — adS. Se diciamo dm e dm le masse esistenti sui due elementi dS e dS, questa ugua-glianza si scrive più semplicemente dm = — dm ; TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 313. Fig. 37. essa dice: due elementi superficiali corrispondenti contengono masse uguali e di segnicontrarli. Sia ora (fig. 37) MMMM un tubo di flusso di dimensioni finite qualunque, ilquale parta da una porzione MM della superficie S e termini su di una porzione MMdella superficie S; le due por-zioni di superficie MM ed MMsi dicono superficie il tubo MMMMin tubi elementari infinitamentesottili, si possono scomporre lesuperficie MM ed MM in ele-menti in modo che a ciascun ele-mento di MM sia corrispondenteun elemento di MM. Ed appli-cando allora a tutte le coppiedi elementi corrispondenti la pro-posizione ora dimostrata si trova che a ciascuna massa contenuta su MM corrisponde una massa uguale e di segno con-trario su MM. Dunque le due superficie corrispondenti contengono masse ugualie di segni contrari. Ciò si può dimostrare direttamente e semplicissimamente così. Immaginiamodue superficie T, T, quali s
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