. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 17 avec cette courbe. Désignons par tt ce rayon-limite. En faisant tourner le rayon mobile en sens contraire, on aura un second rayon-limite t2. Nous désignerons par S l'intérieur du secteur engendré par le rayon mobile, toutefois avec cette convention que, si l'un des rayons- limites n'a d'autres points communs avec la courbe r que u0, v0 et s'il n'est pas tangent à r en ce dernier point, il sera considéré comme faisant partie du domaine S (à l'exception du point m0, v0, qui e
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 17 avec cette courbe. Désignons par tt ce rayon-limite. En faisant tourner le rayon mobile en sens contraire, on aura un second rayon-limite t2. Nous désignerons par S l'intérieur du secteur engendré par le rayon mobile, toutefois avec cette convention que, si l'un des rayons- limites n'a d'autres points communs avec la courbe r que u0, v0 et s'il n'est pas tangent à r en ce dernier point, il sera considéré comme faisant partie du domaine S (à l'exception du point m0, v0, qui est toujours exclu de ce domaine). On remarquera que, avec cette définition du domaine S, on est assuré que la différence 0(u,v) — (u0,v0) est positive et non nulle en chaque point de ce domaine. Cela posé, en désignant par EF(x,y,y',p) et EG(x,y,y',p) les fonctions de Weierstrass relatives aux fonctions F et G, nous allons démontrer ce théorème: Si le domaine S existe et si, pour toutes les valeurs des arguments x, g, //'. p appartenant au domaine Xi <x<Xi, y = y0(x), p = g0'(x), (12) g' ^ y0' (x) mais d'ailleurs quelconque, le point (13) u — u„ + EF, v = v0 -f Ee fait partie de S, il y aura minimum fort. Remarquons de suite que, si la courbe r n'a aucun point situé à l'intérieur du demi- plan où l'expression a (u — u0) -f- b (v — v0) est positive, et qui est évidemment limité par la tangente de r au point u0, v0, le domaine S est précisément constitué par l'intérieur de ce demi-plan. Dans ce cas notre condition revient donc à supposer l'expression E{a b) positive dans le domaine (12). Car on a E,h) = aEF + b EG, et, si cette somme est positive, le point (13) se trouve dans le demi-plan en question, et inversement. D'ailleurs, le domaine S faisant nécessairement partie de ce même demi-plan, la condi- tion qu'énonce notre théorème implique toujours que la fonction E(a b) est positive et non nulle dans le domaine (12). C'est un fa
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