. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften / Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Mathematics; Science. Meines Wissens ist dies die einzige geometrische Herleitung, welclie bis jetzt bekannt wurde, und ist man hierbei über den blos zweigliederigen Ausdruck rechter Hand nicht hinausgegangen. Es ist nun aber nicht ohne Interesse, zu zeigen , dass auch der Rest der bis zum zweiten, ja sogar der bis zum dritten Gliede fortgesetz- ten Eeihe von Taylor aus geometrischen Gründen hergeleitet werden kann. Betrachtet man nämlich/(a;) als den Flächeninhalt AF (Fig. 3) einer e
. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften / Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Mathematics; Science. Meines Wissens ist dies die einzige geometrische Herleitung, welclie bis jetzt bekannt wurde, und ist man hierbei über den blos zweigliederigen Ausdruck rechter Hand nicht hinausgegangen. Es ist nun aber nicht ohne Interesse, zu zeigen , dass auch der Rest der bis zum zweiten, ja sogar der bis zum dritten Gliede fortgesetz- ten Eeihe von Taylor aus geometrischen Gründen hergeleitet werden kann. Betrachtet man nämlich/(a;) als den Flächeninhalt AF (Fig. 3) einer ebenen Curve zwischen irgend einer Anfangsabscisse OA und der Abscisse Oili = .r, so ist die der letztern ent- Fig. 3. sprechende Ordinate ^H' =f,^. und tang t=/,£. , wenn wieder t den Tangentenwinkel in irgend einem Punkte S, dessen Abscisse c ist, bezeichnet. Da der Raum A Q = /â (,(â -f//) ist und das krummlinig begrenzte Viereck M Q einem Rechteck von derselben Grundlinie MN und einer zwischen MP und NQ enthaltenen Ordinate als Höhe gleichgesetzt werden kann, so erhält man schon nach dieser Bemerkung wie vorhin die Gleichung: f(u- + k) _/(.â¢) = ;./.£, = Ã/(l+,,) Kuu lässt sieb aber auch das Viereck ÃIQ als aus dem Viereck MT^=hfr^^ und aus dem krumm- linig begrenzten Dreieck PQT bestehend ansehen, welches dem von der Sehne PR gebildeten ebenen Dreieck PUT gleich sein wird, dessen Spitze ie nach der Richtung der Krümmung in einem bestimmten Punkte R unter- oder oberhalb Q liegt. Die zu dieser Sehne parallele Tangente des Bogens ] Q niuss den letztern uothwendig in einem zwischen seinen Eudpunktec befindlichen Punkte S berühren ; bezeichnet also t den Winkel, welchen sie mit der Axe bildet, so hat man die Gleichung:. folglich: f(x+h)-f(x) = hf^^.+^ ./aangr, tangr=/^. =/(.+.,) ë f(x+/^)=f(x)-\-hf^^^ + ^f^^^^ h) Der Rest der auf die drei Anfangsglieder beschränkten Reihe lässt sieb geometrisch nachweisen, wenn man f(x) als den cubis
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