. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. renfermant la courbe c„ et telle que la dérivée par rapport à « de l'intégrale an -\- hv, prise suivant la courbe y = i/(x,ct), soit différente de zéro pour la valeur a — «„ qui correspond à la courbe c0. Or, la dérivée de '/>(«,') par rapport à « a, pour « = a„, cette même valeur, et puisqu'elle est différente de zéro, la courbe c0 ne saurait donc fournir le minimum. Considérons maintenant le cas où a = 6 = 0. Il est clair qu'une courbe pour laquelle ces égalités sont réali
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. renfermant la courbe c„ et telle que la dérivée par rapport à « de l'intégrale an -\- hv, prise suivant la courbe y = i/(x,ct), soit différente de zéro pour la valeur a — «„ qui correspond à la courbe c0. Or, la dérivée de '/>(«,') par rapport à « a, pour « = a„, cette même valeur, et puisqu'elle est différente de zéro, la courbe c0 ne saurait donc fournir le minimum. Considérons maintenant le cas où a = 6 = 0. Il est clair qu'une courbe pour laquelle ces égalités sont réalisées peut, dans certaines conditions, donner une sorte de minimum, même si elle n'est pas extrémale isopérimétrique. Soit c une courbe voisine de c„ et désignons par Am et A« les accroissements pris par u et v lorsqu'on passe de c0 à c. L'accroissement de peut s'écrire A'/' = «Am -f &Av 4 2 L du2 d'1 d2 d2 '/' A«2 + 2 j-A AwAv 4 -A Av» âudv dv2 4 Si, « et i étant nuls, les termes du second degré de ce développement constituent une forme définie positive, l'ensemble T(g,, pour des valeurs suffisamment petites de q et de o\ ne ren- fermera pas de courbe donnant à d>(u,v) une valeur plus petite que celle qui correspond à c0. Donc, dans ce cas il y aura minimum, du moins au sens large. Mais il est facile de voir qu'une courbe r0 qui n'est pas extrémale isopérimétrique ne peut jamais fournir un minimum strict. Soient en effet ijx {x), rj2 (x) et rj3 (x) trois fonctions continues linéairement indépendantes, ayant des dérivées continues du premier ordre et s'an nulant toutes pour x = Xi et pour x = x2. On peut choisir ces fonctions de telle manière que, si l'on pose V («i «i i «2, «s) = ?/o ') 4- «i 1i (*) 4 «2 Vi (œ) + "a la (#), a,, a2, «3 étant des constantes, le déterminant F{x, f/, y') dx Q (x, f/, f/) dx 5— F (x, y, y') dx oa2 J. ne s'annule pas pour «j =a2 = a3 =0. En effet, si ce détermina
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