. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. 18 Severin Johansson. Maasszahlen in der Ebene und den Maasszahlen der Cayley'schen Maassbestimmung auf der Grenzkugel, schliessen, dass « = „ -log/* ist, wo fi hier, wo die Winkelspitze in dem Kalot- tenmittelpunkt liegt, einfach das Doppelverhältniss ist, welches die Schenkel des Winkels mit den Grenzkreisen »?3 = + «53 bilden. Infolgedessen kann die Gleichung (20) in die Form (21) log /.v' =— l log 1«/' geschrieben werden. Falls somit die Diagonalen des Rechtecks diese Bedingung (21) erfüllen, so umhüllen die Seiten vier kongruente Kurven T3
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. 18 Severin Johansson. Maasszahlen in der Ebene und den Maasszahlen der Cayley'schen Maassbestimmung auf der Grenzkugel, schliessen, dass « = „ -log/* ist, wo fi hier, wo die Winkelspitze in dem Kalot- tenmittelpunkt liegt, einfach das Doppelverhältniss ist, welches die Schenkel des Winkels mit den Grenzkreisen »?3 = + «53 bilden. Infolgedessen kann die Gleichung (20) in die Form (21) log /.v' =— l log 1«/' geschrieben werden. Falls somit die Diagonalen des Rechtecks diese Bedingung (21) erfüllen, so umhüllen die Seiten vier kongruente Kurven T3 (A). 22. Die Bedingung (21) ist aber von projektiver Natur und wir können infolgedessen unmittelbar einen entsprechenden Satz über die Kurven T,' (A) aussprechen, die durch die imaginäre Affinität (16) mit den Kurven T, (/) zusammenhängen. Bei dieser Affinität gehen die Grenzkreise »?.i = + 2?3 in die Asj'mptoten der gleichseitigen Hyperbel S/^ — 1?/^ = ^0'' über und wir können also schliessen, dass die Kurve T/ (A) von den Seiten eines in die Hyperbel eingeschriebenen Parallelograms umhüllt wird, dessen Diagonalen der Bedingung (21) genügen, wo diesmal fi' und i^" diejenigen Doppelverhältnisse sind, welche die Diago- nalen mit den Asymptoten und einem beliebigen, festen Ausgangsdiameter der Hyperbel bil- den. Offenbar besteht die so entstandene Kurve aus vier Zweigen, von denen zwei innerhalb und zwei ausserhalb der Hyperbel liegen. Die innerhalb der Hyperbel liegenden Zweige wer- den von Parallelogramseiten umhüllt, die Punkte desselben Hyperbelzweiges oder verschiede- ner Zweige vereinigen, jenachdem A 0 ist. Gehen wir nunmehr durch Vermittelung der reellen Projektivität (15) von den Kurven Ti' (A) zu den Kurven T, (A) über, so bemerken wir, dass das Diameterbüschel der Hyperbel in die Grenzkreise §i = const. übergeht, wobei insbesondere die Asymptoten auf die Grenz- kreise ?i = + ^o abgebildet werden. Es gehen somit die Diagonalen des PcU
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