Memorie della Reale accademia delle scienze di Torino . n è concatenata collanello; oppurepuò accadere che delle due linee luna passifuori dellanello, come la J, e laltra passidentro, come la J, nel qual caso esse formanouna linea chiusa PJQJP concatenata collanellomedesimo. Possiamo anche distinguere i due casidicendo che nel primo una delle due linee sipuò far venire a coincidere collaltra per mezzodi uno spostamento e di una deformazione gra-duale, senza che per questo essa debba tagliareil tubo vorticale, mentre nel secondo ciò nonsarebbe possibile. Supponiamo dapprima che si verifichi lap
Memorie della Reale accademia delle scienze di Torino . n è concatenata collanello; oppurepuò accadere che delle due linee luna passifuori dellanello, come la J, e laltra passidentro, come la J, nel qual caso esse formanouna linea chiusa PJQJP concatenata collanellomedesimo. Possiamo anche distinguere i due casidicendo che nel primo una delle due linee sipuò far venire a coincidere collaltra per mezzodi uno spostamento e di una deformazione gra-duale, senza che per questo essa debba tagliareil tubo vorticale, mentre nel secondo ciò nonsarebbe possibile. Supponiamo dapprima che si verifichi laprima ipotesi, che cioè le due linee condotteda P a Q sieno le J,j, oppure J,j, così che esse non formino una linea chiusa con-catenata col tubo vorticale. Allora abbiamo ancora, come dianzi, U = 0, e quindiJ—;7 lintegrale da P a Q è ancora indipendente dalla linea percorsa. Se diciamo Jil valore dellintegrale per tutte le linee che vanno da P a Q passando allesternodellanello vorticale, come le PJQ, PjQ, possiamo ancora, come dianzi, scrivere. Fig. 27. (36) J— V„ r. E similmente, se diciamo J il valore dell integrale preso su una linea qualunqueche vada da P a Q passando dentro dellanello, come la PJQ o la PfQ, possiamoscrivere (36) J=VP- V Ma supponiamo ora che si verifichi la seconda ipotesi, che cioè delle due lineecondotte da P a Q una sia la PJQ passante fuori dellanello vorticale e laltra siala PJQ passante dentro dellanello, così che, prese insieme, esse formino una lineachiusa concatenata collanello medesimo. Se allora diciamo U il flusso della rotazioneC esistente nel tubo vorticale, ossia il numero delle linee vorticali concatenate collalinea chiusa PJQJP, abbiamo per la (35): (35) J — J= V. Lintegrale lungo la linea PJQ è diverso da quello lungo la linea PJQ, e la diffe-renza fra i due è U. Portando nella (35) i valori (36) e (36) abbiamo V\ = V. TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 295 Possiamo adunque riassumere dicendo: anche nel caso che stia
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