Abhandlungen über die regelmässigen SternkörperAbhandlungen von LPoinsot, 1809; , 1811; JBertrand, 1858 [und] ACayley, 1859 . le Zahlen, die prim zu viund kleiner als )n sind. Avie die Zahl m hiW-lW-7)- Einheiten hat. Nimmt man also von dieser Zahl nur dieHälfte, weil jede Zahl dasselbe Vieleck liefert, wie ihre Er-gänzung zu m, so erhält mau für die Anzahl A der Artender konvexen Vielecke von ?;? Seiten oder auch 2 X= aP-1 •,.:?/- 1 • ;?- •...•(« — 1) (,i — 1) (/ — 1) 9. Ist m eine Primzahl, so wird, wie es sein muß, da dann alle Zahlen 1, 2, 3, 4, . ., m — 1 zu ;» prim sind,und es a
Abhandlungen über die regelmässigen SternkörperAbhandlungen von LPoinsot, 1809; , 1811; JBertrand, 1858 [und] ACayley, 1859 . le Zahlen, die prim zu viund kleiner als )n sind. Avie die Zahl m hiW-lW-7)- Einheiten hat. Nimmt man also von dieser Zahl nur dieHälfte, weil jede Zahl dasselbe Vieleck liefert, wie ihre Er-gänzung zu m, so erhält mau für die Anzahl A der Artender konvexen Vielecke von ?;? Seiten oder auch 2 X= aP-1 •,.:?/- 1 • ;?- •...•(« — 1) (,i — 1) (/ — 1) 9. Ist m eine Primzahl, so wird, wie es sein muß, da dann alle Zahlen 1, 2, 3, 4, . ., m — 1 zu ;» prim sind,und es also ebeusoviele Vielecke gibt, als die halbe Anzahldieser Zahlen Einheiten hat. Es gibt mithin nur ein einziges Dreieck, aber zwei Fünf-ecke durch Verbindung jedes der fünf Punkte mit dem erstenoder zweiten folgenden Punkte. In dem ersten Fünfeck be-trägt die Winkelsumme 2i?(5 — 2 X 1) = 6L und im zweiten2R{o ~2x 2 = 2R, wie beim Dreieck Fig. 5;. Ebenso erkennt man, daß durch die Zahlen 1, 2, 3 dreiSiebenecke bestimmt sind (Fig. 6). Im ersten, dem gewöhnlichen Üi3er Vielecke und Vielflache. 13. Fig. 6. 14 M. Poinsot. Siebeneck, betrügt die Winkelsumme 10 7, im zweiten 6 7? undim dritten 2 7?. In gleicher Weise erhält man fünf Arten von Elfecken,gegeben durch die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5. Die Winkelsummeist für die erste Art 18 7?, für die zweite 14 7?, für die dritte10 7?, für die vierte 6 7? und für die letzte 2 7?, wie für dasDreieck (vgl. Fig. 9 auf S. 18). Und so fort. m — 110. Ist m ungerade, so ist die Zahl —-— stets prim zu m, folglich gibt es Vielecke mit beliebig ungerader Seitenzahlstets eine Art, für die die Winkelsumme gleich m — 12 7? ? I;» — 2 • —--1 = 27? / ^ m—l\ ist. Was die Vielecke mit gerader Seitenzahl anbelangt, so er-kennt mau sofort, daß nur eine Art von Vierecken und eineAli von Sechsecken vorhanden ist. Wohl aber gibt es mehrereArten von Achtecken Fig. 7), Zehuecken Fig. 8) usw.; fürkeine dies
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