Abhandlungen über die regelmässigen SternkörperAbhandlungen von LPoinsot, 1809; , 1811; JBertrand, 1858 [und] ACayley, 1859 . er Seiten-flächen ein Vielfaches von 28, und die Häufigkeit der Über-deckung der Kugel ist das gleiche Vielfache von 5. Wenn man dann weiter a = 3, ? = 7 und n = 3 setzt. so wird ^ _ ^ • 4 • 7 ~ n folglich ist i^ = / . 28, ^ =/ • 11, wo p ebenfalls eine unbekannte Zahl bezeichnet. Die Zahlder Flächen würde also auch ein Vielfaches von 28, und zwarwahrscheinlich dasselbe Vielfache wie im vorigen Falle sein;die Anzahl der Überdeckungen der Kugel oder die Art desV
Abhandlungen über die regelmässigen SternkörperAbhandlungen von LPoinsot, 1809; , 1811; JBertrand, 1858 [und] ACayley, 1859 . er Seiten-flächen ein Vielfaches von 28, und die Häufigkeit der Über-deckung der Kugel ist das gleiche Vielfache von 5. Wenn man dann weiter a = 3, ? = 7 und n = 3 setzt. so wird ^ _ ^ • 4 • 7 ~ n folglich ist i^ = / . 28, ^ =/ • 11, wo p ebenfalls eine unbekannte Zahl bezeichnet. Die Zahlder Flächen würde also auch ein Vielfaches von 28, und zwarwahrscheinlich dasselbe Vielfache wie im vorigen Falle sein;die Anzahl der Überdeckungen der Kugel oder die Art desVielflachs würde das gleiche Vielfache von 11 sein. 36. In gleicher Weise kann man die weiteren regelmäßigenVielflache mit dreieckigen Seitenflächen, deren körperliche Eckenachtseitig usw. sind, untersuchen. Dann wird man allmählich zur Untersuchung; der Vielflache 38 M. Poinsot. übergehen, die aus Quadraten, Fünfecken usw. konstruiertwerden könnten. Wir wollen uns aber nur bei den Fünfeckenaufhalten, weil sich aus ihnen ein neues, vollkommen regel-mäßiges Dodekaeder, das wirklich existiert, bilden läß Fig. 17. 37. Setzt man als n = 5, q ^ b,allgemeine Gleichung F= A- 4. 2, so ergibt die Ä muß aber mindestens gleich 2 sein, denn da die körper-lichen Ecken solche der zweiten Art sind, so wird die Ober-fläche der Kugel mindestens zweimal überdeckt. Nimmt man A = 3 an, so erhält man F ^= 12. Diesesneue Dodekaeder existiert aber wirklich. Es besitzt zwölfEcken und dreißig Kanten; seine Oberfläche überdeckt die ein-geschriebene Kugel genau dreimal. Dies kann man leichtmit Hilfe eines gewöhnlichen Ikosaeders (Fig. 17) man durch ein solches die zwölf Ebenen, deren jedefünf Ecken des Dodekaeders enthält, so erhält man das neueDodekaeder (Fig. 18 und Taf. I), gebildet aus zwölf kongruenten über Vielecke und Vielflache. 39 und regelmäßigen Fünfecken, von denen je fünf um eine Eckeherum angeordnet sind^).
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