. Abhandlungen der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 497 Es ist schon längst bewiesen worden, dass unter den hierzu gehörenden Raumfiguren auch solche mit Ebenen begrenzte vorkommen, welche, als die einfachsten, wir als Typen auffassen können^). Diese Polyeder sind in den Figuren 12—15 abgebildet. ,,•...,p.|::::- a --?'" '? ?' --_^ 1^ ! b. Fig. 12. Fig. 13. Fig. 14. Fig. 15. Auch jetzt sind diese Paralleloedertypen als die primären aufzufassen, da alle andern, als Varietäten, von diesen dadurch secundär gebildet gedacht werden können, dass man die Grrenzebenen durch belie


. Abhandlungen der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 497 Es ist schon längst bewiesen worden, dass unter den hierzu gehörenden Raumfiguren auch solche mit Ebenen begrenzte vorkommen, welche, als die einfachsten, wir als Typen auffassen können^). Diese Polyeder sind in den Figuren 12—15 abgebildet. ,,•...,p.|::::- a --?'" '? ?' --_^ 1^ ! b. Fig. 12. Fig. 13. Fig. 14. Fig. 15. Auch jetzt sind diese Paralleloedertypen als die primären aufzufassen, da alle andern, als Varietäten, von diesen dadurch secundär gebildet gedacht werden können, dass man die Grrenzebenen durch beliebig andere Flächen ersetzt, mit der Beschränkung, dass dabei die neu construirten gleichen und parallelen Flächen nicht einander schneiden dürfen, da sonst keine continuirliche Eaumfiguren entstünden. 9. Weitere Beschränkung führt die Symmetrie mit sich. Es genügt das Vorhanden- sein einer 2-zähligen Axe der zusammengesetzten Symmetrie (Inversionscentrum), um die Möglichkeit der krummen Flächen zu beseitigen*). Die Symmetrie kann aber viel höher sein. Die Möglichkeit der Symmetrieebenen ist augenscheinlich. Die Möglichkeit gewisser Symmetrieaxen hängt aber von der Vertheilung der Colonnen, respective von der Zähligkeit der Zonen ab. In dieser Beziehung sind die Paralleloeder in zwei Gruppen zu sondern. Der ersten Gruppe gehören das Tri-, Hexa- und Heptaparalleloeder an, welche das Vorkommen der 4-zähligen und nicht mehrzähligen Symmetrieaxe zulassen. Die höchste allen drei zukommende Symmetrieart ist die (hexakis-) oktaedrische mit der Symmetriegrösse 48. Der zweiten Gruppe gehört allein das Tetraparalleloeder an, für welche als höchste die 6-zählige Symmetrieaxe zulässig ist. Die höchste ihm zukommende Symmetrieart ist die dihexagonal-bipyraraidale mit der Symmetriegrösse 24. Es versteht sich von selbst, dass den bezüglichen Paralleloedern auch sämmtliche andere Symmetriearten zukommen, welche in Bezug auf diese höchste untergeordnet


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