Abhandlungen über die regelmässigen SternkörperAbhandlungen von LPoinsot, 1809; , 1811; JBertrand, 1858 [und] ACayley, 1859 . Fig. 17. 37. Setzt man als n = 5, q ^ b,allgemeine Gleichung F= A- 4. 2, so ergibt die Ä muß aber mindestens gleich 2 sein, denn da die körper-lichen Ecken solche der zweiten Art sind, so wird die Ober-fläche der Kugel mindestens zweimal überdeckt. Nimmt man A = 3 an, so erhält man F ^= 12. Diesesneue Dodekaeder existiert aber wirklich. Es besitzt zwölfEcken und dreißig Kanten; seine Oberfläche überdeckt die ein-geschriebene Kugel genau dreimal. Dies kann man l
Abhandlungen über die regelmässigen SternkörperAbhandlungen von LPoinsot, 1809; , 1811; JBertrand, 1858 [und] ACayley, 1859 . Fig. 17. 37. Setzt man als n = 5, q ^ b,allgemeine Gleichung F= A- 4. 2, so ergibt die Ä muß aber mindestens gleich 2 sein, denn da die körper-lichen Ecken solche der zweiten Art sind, so wird die Ober-fläche der Kugel mindestens zweimal überdeckt. Nimmt man A = 3 an, so erhält man F ^= 12. Diesesneue Dodekaeder existiert aber wirklich. Es besitzt zwölfEcken und dreißig Kanten; seine Oberfläche überdeckt die ein-geschriebene Kugel genau dreimal. Dies kann man leichtmit Hilfe eines gewöhnlichen Ikosaeders (Fig. 17) man durch ein solches die zwölf Ebenen, deren jedefünf Ecken des Dodekaeders enthält, so erhält man das neueDodekaeder (Fig. 18 und Taf. I), gebildet aus zwölf kongruenten über Vielecke und Vielflache. 39 und regelmäßigen Fünfecken, von denen je fünf um eine Eckeherum angeordnet sind^).. Fig. 18. 38. Auf diese Weise kann man die regelmäßigen Viel-flache finden, die aus einer gleichmäßigen Anordnung von ge-wöhnlichen konvexen Vielecken sich ergeben. Man kann aberauch versuchen, die konvexen Vielecke höherer Art in regel-mäßiger Weise zusammenzustellen. Setzt man zunächst regelmäßige Fünfecke der zweiten Artso zusammen, daß an jedem Eckpunkte deren drei aneinander-grenzen, so entsteht ein neues Sterndodekaeder, wie leichtzu erkennen ist. Dieses neue regelmäßige Vielflach besitztdreiseitige körperliche Ecken und dreißig Kanten, wie das ge-wöhnliche Dodekaeder; die eingeschriebene Kugel überdecktes genau viermal, so daß mithin seine Oberfläche von keinerGeraden in mehr als vier Punkten geschnitten werden Dodekaeder läßt sich leicht mit Hilfe des vorangegange-nen Dodekaeders, das die Kugel dreimal überdeckt, kon-struieren. Denn verlängert man die Kanten aller Seitenflächen(Fig. 19), bis sie sich schneiden, so erhält man zwölf Fünf-
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