. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Polygones ait plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. riraètre est constamment nulle, il en résulte que tous les polygones ainsi obtenus ont la même longueur de périmètre. Ainsi vient d'être établie cette autre propo- sition d'une importance fondamentale: Théorème II. Il existe une infinité de polygones de n côtés circonscrits à une ellipse donnée pour lesquels le périmètre est un minimum, le point de contact d'un des côtés avec l'ellipse pouvant être choisi à volonté, et tous ces polygones ont la même longueur de périmètre. Les théorèm
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Polygones ait plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. riraètre est constamment nulle, il en résulte que tous les polygones ainsi obtenus ont la même longueur de périmètre. Ainsi vient d'être établie cette autre propo- sition d'une importance fondamentale: Théorème II. Il existe une infinité de polygones de n côtés circonscrits à une ellipse donnée pour lesquels le périmètre est un minimum, le point de contact d'un des côtés avec l'ellipse pouvant être choisi à volonté, et tous ces polygones ont la même longueur de périmètre. Les théorèmes I et II renferment ensemble la solution complète du problème que nous nous étions proposé. Comme illustration de cette théorie générale, ques cas particuliers. En premier heu nous nous occuperons du triangle au plus petit périmètre circonscrit à une ellipse donnée. Soit ABC un tel triangle. Les trois cercles ex-inscrits devant toucher les cô- tés du triangle dans leurs points de con- tact Pi, P2, P3 avec l'eUipse, on en dé- duit d'abord les égalités PiA + AC — P,B + BC, P^B + BA = P^C + CA , P^A-^AB^P^C+CB, lesquelles, com- parées deux à deux, conduisent aux relations nous allons l'apphquer à quel-. (5) ß^ = /2, qui, dans le cas actuel, résument les conditions du minimum. Le triangle au plus petit périmètre a donc la propriété caractéristique que les six segments dans les- quels les cotés du triangle sont partagés par leurs points de contact avec l'ellipse, sont égaux deux à deux, à savoir les deux qui s'appuient sur un même côté. Si l'on veut calculer la longueur du périmètre minimum, on peut, en vertu du théorème II, se borner au cas le plus simple, celui d'un triangle isocèle dont la base est parallèle à l'un des axes de l'ellipse. En admettant que le côté AB est parallèle au grand axe, le triangle A'B'C circonscrit au cercle K et dont ABC est la projection, sera aussi isocèle et l'on aura a = ß
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