. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. über die Gemeinsamheit particulärcr Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 9 haben, sobald sowohl p als auch (t>2 sind. Von den übrigen Differentialquotienten dieser Ordnung sollen nun blos die näher untersucht werden, in denen (7 = 2 ist, da diese allein eine weitere Verwendung finden werden. Ihre Bildungsweise ergibt sich aus den beiden Formeln: ^p{m-k+l+-,). indem man die erste Formel auf je / und die zweite auf die jedesmal übrigen der {k â1) letzten Zeilen von B
. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. über die Gemeinsamheit particulärcr Integrale bei zwei linearen Differentialgleichungen. 9 haben, sobald sowohl p als auch (t>2 sind. Von den übrigen Differentialquotienten dieser Ordnung sollen nun blos die näher untersucht werden, in denen (7 = 2 ist, da diese allein eine weitere Verwendung finden werden. Ihre Bildungsweise ergibt sich aus den beiden Formeln: ^p{m-k+l+-,). indem man die erste Formel auf je / und die zweite auf die jedesmal übrigen der {k â1) letzten Zeilen von B anwendet und die so gewonnenen Determinanten addiit. Von diesen wird nun, wie die obigen Formeln lehren, jede Determinante verschwinden, in der zu einem v der /Zeilen, welche der ersten Formel unterworfen wurden, sich ein fx in den übrigen {kâiâ1) Zeilen vortiudet, welche in der Beziehung stehen [3. V = p 3. Da nun offenbar das kleinste [>., welches nach /-maliger Differentiation nach «('»-*+-) noch für die Differen tiation nach «t^^-^+r') zur Verfügung bleibt, der Bedingung w«^Z;-Hl-t-jü;OTâ^"-i-p, d. h. ,ui>pâ1 genügen muss, so verschwinden in der obigen Summe alle Determinanten, bei denen die erste Formel nicht auf die Zeilen angewandt wird, in denen V = 1, 2, . . p-2 ist. Sind daher in einer Determinante, welche diese Bedingung erfüllt, Pf-i > Pf â â â Pi-(9~^) numerisch geordnet, die v der übrigen Zeilen, welche der ersten der obigen Formeln unterworfen werden, so muss, soll die hervorgehende Determinante nicht verschwinden, mindestens ein Theil der Folge l^_(p_3); 2+(p-3) . . 2p-3; ^p_.+(p-3), . . i>,_(p_,)-H(p-3) («) in der obigen Folge: Pp_i; Pf . â Pi-(f-i) (Ã) enthalten sein, während der andere Theil über (kâ1) hinaus liegt. Sind daher Pf-i, Pp . . 2h-i die Glieder dieser Folge, deren jedes um (pâ3) vermehrt, nicht grösser als {kâ1) ist, so müssen sie die Folge pâ1, p, . . X
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