. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. über die Eigenschaften analyt. Funkt, in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 33 stellen a,, «2 , a,,,. .. und Polen bi^b«. ? . .,b,,... Diese Punktfoigen häufen sich gegen die Peripherie des Einhoitskreises. welche ganz oder teilweise eine singulare Linie der Funktion f(x) sein kann. Wir wollen eine der Formel (40) analoge Gleichung herleiten, welche uns zeigen wird, wie die Dichte der Nullstellen und Pitle und das Anwachsen der Funktion einander beeinflussen. Sei eo<?0; wir wenden die Grundformel (2) in dem Kreisring Qo^f^9 an mit
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. über die Eigenschaften analyt. Funkt, in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 33 stellen a,, «2 , a,,,. .. und Polen bi^b«. ? . .,b,,... Diese Punktfoigen häufen sich gegen die Peripherie des Einhoitskreises. welche ganz oder teilweise eine singulare Linie der Funktion f(x) sein kann. Wir wollen eine der Formel (40) analoge Gleichung herleiten, welche uns zeigen wird, wie die Dichte der Nullstellen und Pitle und das Anwachsen der Funktion einander beeinflussen. Sei eo<?0; wir wenden die Grundformel (2) in dem Kreisring Qo^f^9 an mit /.ix)= i{l-tf'j (a; = r-e"P). Werden die Grössen h(r,Qo), fc(»",?o)- i"(*") und A(r) wie oben definiert, so ergibt sich analog mit der Formel (49): e j\Hr,Q,)^k(r,Ço)){i-rf~ = (55) '" , (1 - ?)V (?) - (1 - e„)V (Po) + feJ'^ (r) (1 - rf dr - A (oo) J(l - r)'^" • Diese Formel gilt für alle o, < () < 1 zunächst für jedes positive k; man kann jedoch auch hier k gegen Null abnehmen lassen und erhält so an der Grenze wieder die erweiterte Jen- SENsche Formel (50). Für q — 1 nähert sich das letzte Glied der obigen Gleichung einem bestimmten Grenzwert, und die Formel (55) liefert uns somit ein Gesetz, nach welchem die Dichte der Nullstellen und Pole und das Wachstum der Funktion in der Umgebung des Ein- heitskreises sich gegenseitig im Gleichgewicht halten. Falls insbesondere die Funktion f{x) in dem Gebiet eo<r<l regulär polfrei ist und somit k{r,()o) = 0, so folgt mittels einer der auf S. 31—32 durchgeführten analogen Überlegung, dass die Integrale ? p Jfe(r,eo)(l-r)'-^ und Jfi{r){l-r)'~'dr für jedes positive k mit ? — 1 zugleich entweder konvergieren oder divergieren; dies gilt auch noch für fc = 0, wenn das zweite Integral mit jO (?) ersetzt wird. Nun ist offenbar das erste Integral in Bezug auf Konvergenz und Divergenz für q -^1 mit dem Integral fh(r,Qo)a-rfdr gleichwertig, und dieses Integral wiederum kon
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