. Abhandlungen der Mathematisch-Physikalischen Classe der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Science; Mathematics. 66. bestimmten Periode zuordnen; und nun kann der Satz bewiesen werden, daß durch Er- setzung der Indizes (pt p>3), wo pl > p2 > p3, durch (pt—p2, p2—ps, p3) die Periode um eins erniedrigt und durch Ersetzung durch (p1 -f- p2 + pv p2 -j- p3, p3) um eins gesteigert wird. Aus den im I. Teile entwickelten Gründen kanu man schließen, daß jeder gegebene Strahl (pip2p3) als ein Resultat bestimmter Additionsoperationen vorkommt. Dieses Resultat respektive die
. Abhandlungen der Mathematisch-Physikalischen Classe der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Science; Mathematics. 66. bestimmten Periode zuordnen; und nun kann der Satz bewiesen werden, daß durch Er- setzung der Indizes (pt p>3), wo pl > p2 > p3, durch (pt—p2, p2—ps, p3) die Periode um eins erniedrigt und durch Ersetzung durch (p1 -f- p2 + pv p2 -j- p3, p3) um eins gesteigert wird. Aus den im I. Teile entwickelten Gründen kanu man schließen, daß jeder gegebene Strahl (pip2p3) als ein Resultat bestimmter Additionsoperationen vorkommt. Dieses Resultat respektive diese Operationsfolge wird durch den Ausdruck (A AA) = Vi (100) -HA (010) + ft (001) eindeutig bedingt und kann sogar durch ein bestimmtes spezielles Symbol ersetzt werden, wie dies wirklich in der zonalen Kristallographie durch die zonalen Symbole geschehen ist. Das Dreieck (100), (010), (001) (Fig. 20) läßt sich aber in sechs Teildreiecke zer- legen, welche respektive durch a, a, b, ß, c, y bezeichnet werden. Genau dieselbe Operationsfolge kann in jedem dieser Teildreiecke geschehen, und das Resultat wird davon ab- häno-en, in welchem davon es geschehen wird. Wir erhalten: in dem Dreiecke a jp1(100)+A(110)+ft(lll)=(p1+A+A)(100) + (jpl+A)C0i0) + A(0ei) . „ . aA(010)+A(110)+i»J(lll)=(p4+jia(100) + Cp1+A-fA)(Q10)+A(001) „ „ , &^(oioHa(oii)+a(iii)=a(ioo)+(^+a+a)(oio)+(^+ä)(ooi) „ , , /Jj>1(001) + A(011)+A(111)=a(100J + 0»1+a)(010)4:(i»1+A+a)(001) , , „ ci»I(001)+l»1(101)+j>4(lll)=(p1+jp1!)(100)+A(010) + (p1+A+A)(OOlj , . ;'^(ioo)+Ä(ioi)+A(iii)=(^+Ä+Ä)(ioo)+A(oio) + o32+A)(ooi). Man kann sagen, daß in allen Fällen die Indizes dieselben sind, aber in verschieden- artiger Permutation und zwar: in dem Dreiecke a gilt (g, q2 q3) und dabei ist q1 > q2 > q3 a , (q* p2>ps gültig ist. Dies würde nur bedeuten, daß wir uns die betreffende Operation innerhalb des Dreiecks a vorstellen. Wie wir gesehen haben, hat dieselbe Operation p1 (100)
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