. Denkschriften - Österreichische Akademie der Wissenschaften. Abbildung der Riemann'sehen Fläche. 111 stehende Figur 24 gibt ein Beispiel eines solchen Sechseckes und es ist sofort ersichtlich, daß der dort ausgeführte Prozeß beliebig oft wiederholt werden kann. Es werde nun die zyklische Ver- Fig. 25. tauschung der Seiten S, bei welcher Sj an die Stelle von S2 tritt, mit U bezeich- net und dasselbe Zeichen als U (cd) auch für die hiedurch bewirkte Transforma- tion der Perioden to verwendet. Es wird dann, wenn die trans- formierten Perioden mit to' bezeichnet werden. oder auch. U(& = 0 0
. Denkschriften - Österreichische Akademie der Wissenschaften. Abbildung der Riemann'sehen Fläche. 111 stehende Figur 24 gibt ein Beispiel eines solchen Sechseckes und es ist sofort ersichtlich, daß der dort ausgeführte Prozeß beliebig oft wiederholt werden kann. Es werde nun die zyklische Ver- Fig. 25. tauschung der Seiten S, bei welcher Sj an die Stelle von S2 tritt, mit U bezeich- net und dasselbe Zeichen als U (cd) auch für die hiedurch bewirkte Transforma- tion der Perioden to verwendet. Es wird dann, wenn die trans- formierten Perioden mit to' bezeichnet werden. oder auch. U(& = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 -1 0 -1 -1 0 (CO) und es ist klar, daß UG = 1 ist. Als zweite Operation V werde diejenige bezeichnet, welche aus dem Anfügen eines zentrisch symmetrischen Sechseckes längs der Seite S2 und neuerlicher Zerschneidung der Gesamtfigur längs der Linie @2 besteht (Fig. 25). Es wird dann, wenn die Seiten der neuen Figur mit ® bezeichnet werden, ®i S2, @2 = S1 + 2S2, @3 = S3, @4=:S4, @5 = 55, ©0 und die zugehörige Substitution der Perioden: v<*y = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Nun findet man zunächst ohne Schwierigkeit, daß (UV)'° die Seiten S der Reihe nach überführt in S1 + 2S2, S2~2S2, S3 + 2S2, S4--2S2, S5 + 2 S2, SG-2S2, während die Perioden ungeändert bleiben, so daß (uvy°= i. Dies ist aber gerade die Abänderung, welche das Sechseck erfährt, wenn der Punkt a einen Umlauf um den Verzweigungspunkt, welcher dem auf der Seite 52 gelegenen Symmetriezentrum entspricht, macht. Man hat dabei nur auch die Vorzeichenänderungen, welche die Integrale erfahren, gehörig zu beachten. (Die Bezeichnung der Verzweigungspunkte ist hier verschieden von der vorher gewählten, im Anschluß an die Bezeichnung der Sechseckseiten.) Da man nun durch die zyklische Vertauschung jede Seite an die Stelle von 52 bringen kann, so kann man auf diese Weise jede Umlaufung eines Verzweigungspunktes ausführen, und zwar ohne die Perioden zu ändern. Man hat also nur
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