. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 37 a, en effet, qu'on seul, le tétraèdre régulier, dont les faces soient touchées en leurs centres de gravité par la sphère inscrite. On peut donc, par cette seule raison, affirmer que celui-ci a plus grand volume que tout autre tétraèdre de même surface. Mais lorsque le nombre des faces n est supérieur à 4, il existe en général plusieurs polyèdres qui remplissent la condition dont il s'agit, et comme il est à présumer (jue pour chaque valeur de n il n'y a qu'un seul maximum, on est dès lors obligé de
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 37 a, en effet, qu'on seul, le tétraèdre régulier, dont les faces soient touchées en leurs centres de gravité par la sphère inscrite. On peut donc, par cette seule raison, affirmer que celui-ci a plus grand volume que tout autre tétraèdre de même surface. Mais lorsque le nombre des faces n est supérieur à 4, il existe en général plusieurs polyèdres qui remplissent la condition dont il s'agit, et comme il est à présumer (jue pour chaque valeur de n il n'y a qu'un seul maximum, on est dès lors obligé de recourir à une analyse spéciale pour écarter les solu- tions étrangères. En supposant que les polyèdres soient circonscrits à une sphère donnée, il s'agit alors de rechercher lequel d'entre eux a soit le moindre volume, soit la moindre sm'face totale. C'est ce que nous allons faire, on nous bornant toutefois aux cas où le nombre des faces ne dépasse pas six. Figures limitées par cinq plans. 19. Parmi les pentaèdres circonscrits à une sphère donnée il y en a deux qui satisfont à la condition relative au contact barycentrique des faces que doit remplir le polyèdre dont le volume est un minimum ; ce sont le prisme triangulaire régulier dont la hauteur est le double de l'apothème de la base, et la pyramide régulière à base carrée dont la hauteur égale la diagonale de la base. En désignant par E le rayon de la sphère, on trouve poui" les vo- lumes de ces deux tigiues les valeurs suivantes: volumo du prisme = 6 j/3 iï' = 10,S92 E\ volume de la pyramide — — E^ = 10,667 E^. La seconde figure aj^ant un plus grand volume que la première, on peut en inférer qu'elle n'est pas un vrai minimum et qu'il doit y en avoir quelque voie de déformation continue par laquelle on peut passer de la seconde figiu'e à la première, tout en faisant décroître constamment le volume. Afin d'établir une liaison de cette espèce entre les deux pent
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