. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. über die EigenscJiufUn unabjL Fiiiikl. in der l'vuji:bim() einer siii.()ul. Sicile oder Linie. I. Die grundlegenden Formeln und Ungleichungen. 1. Im Folgenden bezeichnet. G ein ein- oder mehrt';icli zusainnicnbängeiidcs Gebiet, dessen Rand r aus einer endliclien Anzahl regulärer analytischer Kurvenstücke zusammengesetzt ist. Sei fix) eine innerhalb und auf dem Rand(; r des Gebietes G eindeutige») meromorphe Funk- tion der komplexen Variable x= a + ii^re''''. Die Nullstellen und Pole der Funktion innerhalb des Gebietes seien %, «3. •?•>«« bzw.
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. über die EigenscJiufUn unabjL Fiiiikl. in der l'vuji:bim() einer siii.()ul. Sicile oder Linie. I. Die grundlegenden Formeln und Ungleichungen. 1. Im Folgenden bezeichnet. G ein ein- oder mehrt';icli zusainnicnbängeiidcs Gebiet, dessen Rand r aus einer endliclien Anzahl regulärer analytischer Kurvenstücke zusammengesetzt ist. Sei fix) eine innerhalb und auf dem Rand(; r des Gebietes G eindeutige») meromorphe Funk- tion der komplexen Variable x= a + ii^re''''. Die Nullstellen und Pole der Funktion innerhalb des Gebietes seien %, «3. •?•>«« bzw. biJi.,,. .,b„\ der Einlachheit wegen nehmen wir an, dass die Funktion auf dem Rande f regulär und von Null verschieden ist. Wir umgeben die Nullpunkte a^ und die Pole b, mit kleinen Kreisen y{a^) bzw. yCb.) vom Radius q und denken uns diese Kreisscheiben aus dem Gebiet G entfernt; innerhalb und auf dem Runde des so entstandenen Bereiches Gq ist dann log!/(a;)| eine eindeutige reguläre harmonische Funktion und somit Alogl/(a;) | = 0, wo A den Laplaceschen Ausdruck A--^ + ~- ^ — do- dt- r ör' y drj^ r"- dc(,' bezeichnet. Sei ferner ^(x) eine beliebige reelle Funktion, bezüglich deren vorläufig nur angenommen werden soll, dass sie nebst ihren partiellen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen innerhalb und auf der Berandung des Gebietes G stelig ist. Nach diesen Festsetzungen werden wir von der Greenschen Integraltransformationsformel I (nAII — vau)dff = — I (u^ — V ,"']ds Gebrauch machen, welche das Flächenintegral links in das dem Rande entlang genommene Li- uienintegral rechts überführt. Hierbei bezeichnet da das Flächenelement, ds das Bogenelement des Randes und ^ die nach der inneren Randnormale genommene Ableitung. Bringt man diese Transformationsformel im oben definierten Gebiet G^ zur Anwendung indem man u = log | / und r = A setzt, so ergibt sich zunächst, da Alogi/l = 0 innerhalb G», y/^^'^'"''Vyr j\og f AXda^-j{log\f\^/^-X^
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