. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 9 le segment de r intérieur à C appartient à C , et par suite, l'aire Cn est comprise tout en- tière dans Cn. Donc, si pour un point u0-\-Au, v0-\-Av intérieur à C on a aAw + /;Ay 4- (| + h) â^<0, on y a aussi («0 + A«, i'o + Av) — </J (w0, w0) et ç' si petits que les valeurs de u et v correspondant aux courbes T déterminent des points intérieurs au cercle C, nous pouvons donc énoncer les résultats suivants: S'il existe des nombres positifs k, q, q' tels que l'inégalité a
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 9 le segment de r intérieur à C appartient à C , et par suite, l'aire Cn est comprise tout en- tière dans Cn. Donc, si pour un point u0-\-Au, v0-\-Av intérieur à C on a aAw + /;Ay 4- (| + h) â^<0, on y a aussi («0 + A«, i'o + Av) — </J (w0, w0) et ç' si petits que les valeurs de u et v correspondant aux courbes T déterminent des points intérieurs au cercle C, nous pouvons donc énoncer les résultats suivants: S'il existe des nombres positifs k, q, q' tels que l'inégalité aAu + bAr + (" — fc] A/;2 > ait lieu pour toute courbe de Vensemble T la fonction (u,v) a pour c„ un minimum. Et, d'autre part: S'il existe un nombre positif k tel que, quelque petits qu'on se donne q et q', l'inégalité aAu -f bàv + (t+k\ Ay2 < 0 ait lieu sur des courbes faisant partie de l'ensemble T' , c0 ne fournit pas un minimum de (m, v). Ce résultat nous montre que notre problème est étroitement lié à la question de savoir si, et pour quelles valeurs de la constante v, l'expression (2) aAu + bàv + ;'Ar2 est minima pour c0. C'est sur cette question que nous porterons maintenant notre attention. 7. Conservant toutes les hypothèses faites dans ce qui précède, désignons par 5 l'extré- male dont r0 est un segment, et soit P le foyer conjugué isopérimétrique du point xl, yt sur cette extrémale. Soit y = y (x,b, (i) l'extrémale de l'intégrale au-\-bv qui passe par %i,yi et dont la tangente en ce point a fi pour coefficient angulaire, et désignons par fi0 la valeur de n cor- respondant à l'extrémale s. Posons encore m (x, b,,«) = G ( r. y (x, b, u), y' (x, ï, fi) \ dx et admettons enfin que le point /', s'il existe, se trouve à droite du point x%,g2. Puisque, en vertu de cette dernière hypothèse, on a à (ï, j») N:o Please note that these images are extracted from scanned page images that may have been digitally
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