. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. 28 EUN8T LiNDKLÖR roriginu O ut formant avec cet axe un angle ip compris entre ^— et -^, comme l'indique la figure ci-dessous. En posant comme plus haut z = pé^^, x = ré''^^ on. aura sur le rayon OB fl I log r cos i/j — e sin i/i) (56) I ,r ! = e , et comme \ff{z)\ croît moins vite que e^'", quelque petit que soit f, on voit donc que l'intégrale (55), prise le long du rayon 0J5, représente une fonction analytique /(*?, x\)] qui est holomorphe pour tout point du domaine jP((/') défini par les inégalités (57) log r cos »/'- e sin (/^ 0. Dans
. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Science. 28 EUN8T LiNDKLÖR roriginu O ut formant avec cet axe un angle ip compris entre ^— et -^, comme l'indique la figure ci-dessous. En posant comme plus haut z = pé^^, x = ré''^^ on. aura sur le rayon OB fl I log r cos i/j — e sin i/i) (56) I ,r ! = e , et comme \ff{z)\ croît moins vite que e^'", quelque petit que soit f, on voit donc que l'intégrale (55), prise le long du rayon 0J5, représente une fonction analytique /(*?, x\)] qui est holomorphe pour tout point du domaine jP((/') défini par les inégalités (57) log r cos »/'- e sin (/^ 0. Dans le cas présent, où l'angle \p est supposé aigu, le domaine T {,ip) comprendra les points intérieurs à la spirale logarithmique f> ta i/! (58) /- = 6 ^ , excepté l'origine. I^a fonction I{x, ip) donne le prolongement analytique de I{x) en dehors du cercle de rayon un. l^our le faire nettement voir, traçons un arc de cercle CD de centre 0 et de rayon R. L'expression x^ (p {z) étant une fonction holomorphe de ,:• dans le secteur OCD, l'intégrale I x^ tp (z) dz, prise le long du contour de ce secteur, est égale à zéro. Mais d'après (56) on aura sur l'arc CD, en supposant .'; réel et compris dans l'intervalle 0 < a; < 1, - R cos Ü) loa; ( — | |a;'|<e U-y. Comme d'autre part \<p{z)\<Ce''', l'intégrale relative à l'arc CD tendra donc vers zéro lorsque E augmente, et par suite, pour les valeurs considérées de x, l'intégrale (55) aura la même valeur, qu'on prenne l'axe réel ou le rayon OB comme chemin d'intégration. En d'autres termes, on aura I(x) = I(x, i/j) pour ()<.i'<l, ce qui prouve l'exactitude de notre assertion. T. Please note that these images are extracted from scanned page images that may have been digitally enhanced for readability - coloration and appearance of these illustrations may not perfectly resemble the original Suomen Tiedeseura. Helsingfors : [Suomen Tiedeseura]
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