. Atti della Reale Accademia (Nazionale) dei Lincei : Rendiconti. â 129 â superficie ortogonali), ed è quindi impossibile costruire in Sâ un sistema npl° di ipersuperficie (ortogonali) che si seghino lungo le congruenze prin- cipali. Ma se questo è possibile per la rappresentazione di S'n sopra Sâ, la proprietà ha pur luogo manifestamente nella rappresentazione (inversa) di Sâ sopra S^; allora diciamo, per abbreviare, che la rappresentazione è normale. Diremo poi uniforme la rappresentazione quando i moduli di dilata- zione principali /Uj , ^s, ... fxn siano costanti in tutto lo spazio (o
. Atti della Reale Accademia (Nazionale) dei Lincei : Rendiconti. â 129 â superficie ortogonali), ed è quindi impossibile costruire in Sâ un sistema npl° di ipersuperficie (ortogonali) che si seghino lungo le congruenze prin- cipali. Ma se questo è possibile per la rappresentazione di S'n sopra Sâ, la proprietà ha pur luogo manifestamente nella rappresentazione (inversa) di Sâ sopra S^; allora diciamo, per abbreviare, che la rappresentazione è normale. Diremo poi uniforme la rappresentazione quando i moduli di dilata- zione principali /Uj , ^s, ... fxn siano costanti in tutto lo spazio (o regione di spazio). In questo caso l'equazione secolare (4) avrà le radici costanti, e quindi, in particolare, sarà costante il rapporto dei due discriminanti delle forme differenziali (1), (1'); onde segue: ogni rappresentazione uni- forme conserva in particolare la proporzionalità tra i volumi (ipervolumi) corrispondenti. 3. Premesse queste generalità , veniamo all'oggetto della presente Nota, e, supposto che Sn , S'â siano due spazii a curvature riemanniane costanti K , K', domandiamo di risolvere il problema: Trovare tutte le rappresen- tazioni normali ed uniformi dell'uno spazio sull'altro. Tali rappresenta- zioni esistono effettivamente in grande arbitrarietà : la loro ricerca dipende dall'integrazione di un sistema simultaneo di equazioni a derivate parziali, il sistema (B) del seguente n. 4. Riferiamo lo spazio Sâ al sistema npl° ortogonale (ux, uz,... uâ) costi- tuito, per ipotesi, dalle congruenze principali della rappresentazione; esia la corrispondente forma del dsz. Scriviamo in primo luogo le condizioni affinchè questo ds2 appartenga allo spazio di curvatura riemanniana costante K. Se introduciamo le rotazioni (Darboux), date da queste condizioni si esprimono col sistema differenziale seguente per le H,- e le fan (ved. le mie Lezioni, voi. I, pag. 75 e pag. 344): (6) ds* = Ri dui + Et dui H h H* da* fi ih = 1 ìHft. 1>Eì U"
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